Endim B2

Lösningar till uppgifter i boken

12.1 $\quad$ Ange alla primitiva funktioner till:

x^4

\dfrac1x

e^x

\cos x

\sin x

\dfrac{1}{cos^2x}

\dfrac{1}{sin^2x}

\dfrac{1}{1+x^2}

\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}

\dfrac{1}{\sqrt{x^2+\alpha}}

12.2 $\quad$ Bestäm en primitiv funktion till:

x^3

\dfrac{1}{x^3}

\sqrt{x}

x\sqrt{x}

\dfrac{1}{\sqrt{x}}

\dfrac{1}{x\sqrt{x}}

12.3 $\quad$ Bestäm en primitiv funktion till:

\dfrac{2}{x+1}

\dfrac{1}{2x+1}

\dfrac{2}{(1-3x)^2}

12.5 $\quad$ Bestäm en primitiv funktion till:

\sin 2x

\sin \frac{x}{3}

\sin (2x+\frac\pi3)

12.6 $\quad$ Är $\dfrac{e^{x^2}}{2x}$ en primitiv funktion till $e^{x^2}$ ? Motivera ditt svar.

Lösning

12.7 $\quad$

a) Hur kan man, utan några beräkningar, direkt bestämma

\int e^{x^2}2xdx

b) Bestäm

\\\qquad \int e^{x^2}\cdot2xdx\\

\quad

genom att först utföra variabelbytet

t=x^2

12.8 Bestäm en primitiv funktion till:

e^{x^2}\cdot x

\dfrac{x}{3}e^{x^2} x

\cos x^2\cdot 2x

x\cos x^2

x^2\cos x^3

x^2\sin x^3

\dfrac{1}{x^2}\cos(\dfrac1x)

2x(x^2+5)^8

12.9 Bestäm en primitiv funktion till:

\sin^2 x\cos x

\cos x\sin^3 x

\sin x\cos x

\cos x\dfrac{1}{\sin^2 x}

\cos x\dfrac{1}{\sin x}

\dfrac{\cos x}{\sin x}

\dfrac{\sin x}{\cos x}

\tan x

12.10 Bestäm en primitiv funktion till:

\dfrac{1}{x^2+1}2x

\dfrac{2x}{x^2+1}

\dfrac{x}{x^2+1}

\dfrac{3x^2}{x^3+1}

\dfrac{x^2}{x^3+1}

\dfrac{e^x}{e^x+1}

\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}

\dfrac{e^x+1}{e^x}

12.11 Bestäm en primitiv funktion till:

\dfrac{1}{x}(\ln x)^2

\dfrac{1}{x}(\ln x)

\dfrac{(\ln x)^2}{x}

\dfrac{\ln x}{x}

\dfrac{1}{x}\sin(\ln x)

\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{1}{\ln x}

\dfrac{1}{x\ln x}

\dfrac{\sin(\ln x)}{x}

12.13 Bestäm $\int e^x(e^x+5)^8 dx$ genom att utföra variabelbytet $t=e^x+5$

Lösning

12.14 Bestäm samtliga primitiva funktioner till

\dfrac{1}{x\ln x}

genom att först utföra variabelbytet

t=\ln x

\sin x \cos^{-4/3}x

genom att först utföra variabelbytet

t=\cos x

12.15 Bestäm med hjälp av ett lämpligt variabelbyte samtliga primitiver till:

x\sqrt{7x^2+5}

\dfrac{x}{\sqrt{x^2+5}}

e) Går det att lösa ovanstående deluppgifter "direkt" utan variabelbyte?

12.16 Bestäm med hjälp av ett lämpligt variabelbyte samtliga primitiver till:

\dfrac{1}{e^x+e^{-x}}

x\sqrt{x+1}

\dfrac{x}{\sqrt{2x+5}}

\dfrac{1}{x+x^\frac{1}{3}}

12.17 Bestäm med hjälp av partialintegration samtliga primitiver till

x^2 \ln x

xe^{-x}

\sqrt{x} \ln x

\arctan x

\ln(x+1)

\ln^2x

12.18 Bestäm med hjälp av partialintegration samtliga primitiver till

e^{2x}\sin 3x