Endim B2

Lösningar till uppgifter i boken

Kapitel 6. Komplexa tal

6.1 Bestäm Re $z$ och Im $z$ om $z$ är:

2+3i

-1-i

3

2i

-i

6.2 Skriv följande tal på formen $a+bi$ där $a$ och $b$ är reella:

(1+i)+(-3-2i)

(1+i)-(3-4i)

(1+i)(3-4i)

(1-i)^2

(5-2i)^3

(1-i)^4

6.3 Beräkna:

\overline{1+i}

\overline{3-5i}

\overline{-7}

(1+i)\overline{(1+i)}

|1+i|

|i|

|3-2i|

|-5i|

6.4 Skriv följande tal på formen $a+bi$ där $a$ och $b$ är reella:

\dfrac{1}{1+i}

\dfrac{1}{3-4i}

\dfrac{3-4i}{1+i}

\dfrac{1-i}{1+i}

(1+i)^{-2}

\dfrac1i

6.5 Beräkna absolutbeloppet av talen:

(1-i)^{14}

\dfrac{3+i}{4+3i}

6.6 Beräkna absolutbeloppet av:

\dfrac{(1+2i)(7+\sqrt{3}i)^2}{(5+i)^2}

6.7 Lös ekvationen:

z+2\overline{z}=2-i

6.8 Lös ekvationerna:

3z-i\overline{z}=7-5i

z\cdot2\overline{z}=1+i

6.9 Tolka geometriskt i det komplexa talplanet relationen:

z+

z=1

6.10 Rita i det komplexa talplanet de $z$ som uppfyller relationen:

a) Re

z=3

b) Im

z=-1

c) Im

z>0

z+\overline{z}=0

z=\overline{z}

6.11 Rita i det komplexa talplanet de $z$ som uppfyller:

|z+2|=1

6.12 Rita i det komplexa talplanet de $z$ som uppfyller:

|z|=1

|z|=3

|z-2|=1

|z+1+i|=2

|z|\leq 1

|z|>2

1\leq|z+1|\leq2

Polär form

6.18 Ange på formen $a+bi$ de komplexa tal vars absolutbelopp och argument är:

\sqrt{2}, \frac\pi4

1, \pi

\sqrt{2}, \frac{9\pi}{4}

1, \frac{\pi}{2}

1, 2\pi

\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{\pi}{4}

1, -100\pi

6.19 Rita följande komplexa tal i ett talplan. Bestäm även argument, absolutbelop och polär form:

1

-13

i

-1+i

i\sqrt{3}-1

\sqrt{3}+3i

6.20 Vad är absolutbelopp av:

\cos\frac{\pi}{8}+i\sin\frac{\pi}{8}

\cos\frac{9\pi}{5}+i\sin\frac{9\pi}{5}

\cos\theta+i\sin\theta

6.21 Vad är absolutbelopp av:

e^{i\frac{\pi}{8}}

e^{i\frac{9\pi}{5}}

e^{i\theta}

\theta

är reellt?

6.22 Argumenet av $z$ är $\pi/3$ och $\arg w=\pi/4$ Bestäm ett argument till:

zw

z/w

c) Kan man säga något om vad

\arg(z+w)

eller

\arg(z-w)

är?

6.23 Argumentet av $z$ är $\pi/3$ . Ange ett argument som ligger mellan $0$ och $2\pi$ till $z^{2000}$

Lösning

6.24 Beräkna argumentet av $z=\dfrac{1+i\sqrt{3}}{(2-2i)^3}$

Lösning

6.25 Bestäm $\arg \dfrac{(2+2i)(1+i\sqrt{3})}{3i(\sqrt{12}-2i)}$

Lösning

6.26 Låt $w$ vara ett givet reelt tal. Bestäm ett argument av

1+2iw

-1+2iw

\dfrac{1}{1+2iw}

\dfrac{1}{-1+2iw}

\dfrac{1}{(1+2iw)^2}

\dfrac{e^{iw}}{(1+2iw)^2}

6.27 Beräkna $(\frac12+i\frac{\sqrt{3}}{2})^{100}$

Lösning

6.28 Använd de Moivres formel för att uttrycka $\cos 4\theta$ och $\sin 4\theta$ med hjälp av $\sin\theta$ och $\cos\theta$

Lösning

6.29 Använd Eulers formler för att härleda ett uttryck för $\cos\alpha\sin\beta$

Lösning

6.32 Vektorerna i det komplexa talplanet vrids vinkeln $5\pi/6$ i positiv led, varefter de förstoras i skalan 3. I vilket tal övergår

a) 1

b) -1+i

6.34 Beräkna $e^z$ för följande $z$ :

0

i\frac{\pi}{2}

\frac{1}{2}\ln 2 + i\frac{\pi}{4}

i\pi

3-i

Polynomekvationer

6.37 Lös ekvationerna:

z^2=5+12i

z^2-(2+2i)z-5-10i=0

6.38 Lös ekvationerna:

z^2=-i

6.40 Lös ekvationen $(2+i)z^2+(1-7i)z-5=0$

Lösning

6.41 Lös följande ekvationer och rita ut rötterna i det komplexa talplanet:

z^3=i

z^3=1+i

z^4=16

z^3=i\sqrt{3}-1

z^5=4i

z^4=-1

6.44

Bestäm konstaten

a

så att polynomet

\\ \quad p(x)=x^3-2x^2-19x+a\\

får faktorn

x-1

. Faktorisera polynomet för detta

a

-värde.

Lösning

6.45

Ekvationen

\\\quad z^4-2z^3+2z^2-10z+25=0\\

har rötterna

z=2+i

och

z=-1-2i

. Lös ekvationen fullständigt.

Lösning

6.49 Ekvationen $z^4-z^3+7z^2-9z-18=0$ har en rent imaginär rot. Lös ekvationen.

Lösning

6.53 Faktorisera polynomet $p(x)=x^5-x^4+4x-4$ i realla faktorer av så låg grad som möjligt

Lösning